Matematica discreta Esempi

${(x + 3)}^{8}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

$1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$

$1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1$

È possibile utilizzare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla linea $n + 1$ del triangolo. Per ${(x + 3)}^{8}$ , $n = 8$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla linea $9$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1$ .

$1 a^{8} b^{0} + 8 a^{7} b + 28 a^{6} b^{2} + 56 a^{5} b^{3} + 70 a^{4} b^{4} + 56 a^{3} b^{5} + 28 a^{2} b^{6} + 8 a b^{7} + 1 a^{0} b^{8}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $x$ e $b$ $3$ nell'espressione.

$1 {(x)}^{8} {(3)}^{0} + 8 {(x)}^{7} {(3)}^{1} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ${(x)}^{8}$ per $1$ .

${(x)}^{8} {(3)}^{0} + 8 {(x)}^{7} {(3)}^{1} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{8} \cdot 1 + 8 {(x)}^{7} {(3)}^{1} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $x^{8}$ per $1$ .

$x^{8} + 8 {(x)}^{7} {(3)}^{1} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.4

Calcola l'esponente.

$x^{8} + 8 x^{7} \cdot 3 + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $3$ per $8$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 28 x^{6} \cdot 9 + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $9$ per $28$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.8

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 56 x^{5} \cdot 27 + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.9

Moltiplica $27$ per $56$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.10

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 70 x^{4} \cdot 81 + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.11

Moltiplica $81$ per $70$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.12

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 56 x^{3} \cdot 243 + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.13

Moltiplica $243$ per $56$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.14

Eleva $3$ alla potenza di $6$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 28 x^{2} \cdot 729 + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.15

Moltiplica $729$ per $28$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.16

Semplifica.

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 8 x {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.17

Eleva $3$ alla potenza di $7$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 8 x \cdot 2187 + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.18

Moltiplica $2187$ per $8$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.19

Moltiplica ${(x)}^{0}$ per $1$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

Passaggio 4.20

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + 1 {(3)}^{8}$

Passaggio 4.21

Moltiplica ${(3)}^{8}$ per $1$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + {(3)}^{8}$

Passaggio 4.22

Eleva $3$ alla potenza di $8$ .

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + 6561$